스칼라(Scalar)는 하나의 숫자로만 표시되는 양 즉, 단지 크기만 있는 물리량이다. 벡터, 텐서 등이 방향과 크기가 있는 물리량인데 대하여 방향의 구별이 없는 수량이다. 숫자를 예로 들면, 스칼라는 |-1|, |2| 등으로 표기되는 절댓값이고 벡터는 +3, -4, +2 등 방향까지 포함된 값으로 볼 수 있다. 스칼라에는 시간, 속력, 온도, 에너지, 질량 등이 있다.
스칼라(scalar)는 선형대수학에서 선형공간을 정의 할 때, 선형공간의 원소와 스칼라 곱을 하는 체의 원소이다. 예를 들어, 1차 실수 계수 다항식들의 선형공간 {A + bx|a,b Ⲉ R}에서 스칼라는 실수이다.
물리학에서의 스칼라[편집]
물리학에서 스칼라, 혹은 스칼라양은 한 개의 수만으로 기술되는 물리량이다.
보통, 스칼라를 크기만을 갖는 물리량이라고 말하기도 한다. 이와 대조적으로, 크기와 함께 방향 등 여러 가지의 성질들로 특정화하는 물리량들도 존재하는데, 이들은 여러 개의 수로 기술되는 벡터나 텐서이다.
스칼라 물리량[편집]
스칼라 물리량은 대개 수치와 물리 단위를 결합하여 표현된다. 수치는 단위에 따라 달라지지만, 그렇다고 물리량 자체의 크기가 달라지는 것은 아니다. 예컨대, 1km와 1000m는 같은 거리이다. 즉, km와 m는 동일한 좌표계의 다른 눈금 크기일 뿐인데, 거리는 좌표계의 눈금 크기가 달라지는 것과 무관하다. 일반적으로 말해서, 눈금 크기 변환과 같은 좌표변환이 스칼라를 나타내는 식을 변화시킬 수는 있지만, 스칼라 자체는 불변이다.
단위차원이 없는 스칼라[편집]
스칼라양은 대개 단위를 갖지만, 단위를 갖지 않는 경우도 있다. 전자의 전하 e, 진공에서 빛의 속도 c 등, 보편적인 물리상수에만 의존하는 단위를 자연단위(natural unit)라고 하는데, 자연단위를 사용하는 경우가 바로 그것이다. 예컨대 e 를 전하의 단위로 할 때, 헬륨 원자핵의 전하는 +2이다. 또한 물체의 속도가 빛의 속도의 절반일 때, 물체의 속도는 +0.5이다. 여기서 +2나 +0.5는 아무런 단위차원이 없는 스칼라양이다.
좌표변환 불변성[편집]
스칼라는 좌표가 변환될 때 변하지 않는다. 하지만 어떤 물리량이 스칼라양인지 아닌지를 이와 같은 불변성으로부터 판단하고자 할 때, 고전물리학과 상대론의 관점이 다르다는 것에 유의해야 한다. 예컨대 고전물리학에서, 전하나 전하밀도는 스칼라이며 좌표변환(갈릴레이 변환)에 대해 변하지 않는다. 하지만 상대론에서는 좌표변환(로런츠 변환)에 대해 전하는 여전히 변하지 않는 스칼라이지만, 전하밀도는 변하기 때문에 스칼라가 아니다. 상대론에서 전하밀도는 전류밀도와 결합하여 상대론적인 사차원 벡터(4-vector)를 구성하는 벡터의 한 성분이다.
수학에서의 스칼라[편집]
스칼라의 정의는 N차원 공간에서 N의 0승개의 수로 표현할 수 있는 물리량이다.
그러므로 좌표계가 변환되어도 그에 따라 변화하지 않는 양이라는 것이다. 예를 들어 속도 벡터가 두 개의 성분을 가지고 있다고 할 때(x축 방향으로 100 km/h, y축 방향으로 0 km/h) 각각의 성분은 크기만을 가지고 있지만 스칼라는 아니다. 왜냐하면 그 속도를 나타내기 위한 좌표계가 바뀌면 각각의 성분도 바뀌기 때문이다(예를 들어 x'축 방향으로 80 km/h, y'축 방향으로 60 km/h 라는 식으로).
하지만 막대의 길이가 1 m이면 어느 좌표계에서 재어도 1 m가 될 것이다. 따라서 막대의 길이는 스칼라이다(단 상대론적으로 움직이는 좌표계는 논외로 한다). 수학에서도 스칼라는 비슷한 의미를 가진다. 전산학에서는 스칼라를 단순히 '하나의 수'를 가리키는 말로 쓰기도 한다.
- 스칼라체 벡터공간
수학적으로 말하자면, 스칼라는 벡터공간의 구성요소인 체(field)의 원소이다. 벡터공간은 벡터합과 스칼라배(scalar multiplication) 연산이 정의된 스칼라와 벡터들의 집합으로, ‘스칼라체(scalar field) 위에 정의된 벡터공간’, 혹은 ‘스칼라체 벡터공간’이라고 일컫는다. 예컨대, 스칼라체가 실수인 경우는 ‘실수 벡터공간’이라고 부른다. 모든 벡터공간은 기저벡터(basis, 혹은 basis vector) 집합을 갖는데, 특정한 기저벡터 집합을 선택하는 것은 특정한 좌표계를 선택하는 것과 동등하다. 이와 같이 좌표계가 특정된 벡터공간을 좌표 벡터공간(coordinate vector space)이라고 부른다. 모든 스칼라체 벡터공간은 좌표값이 스칼라체의 원소인 좌표 벡터공간과 동형(isomorphic)이다. 예컨대, 모든 차원 실수 벡터공간은 차원 실수공간 과 동형이다. 한편, 스칼라곱이 정의되어 벡터공간에 연관될 때, 그 공간을 내적 공간(inner product space)라고 부른다.
참고자료[편집]
같이 보기[편집]
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