조화평균 편집하기

조화평균은 주어진 집단의 측정결과에 대한 대표치의 하나로서 개별점수의 역(速)의 산술평균의 역(速)을 말한다. 각 개인별 측정치를 X1, X2, ...Xn이 라고 하고 전체 사례수를 N, 그리고 조화평균을 H라고 하면 다음과 같이 계산된다. 조화평균은 특별한 유형의 대표치로서 그 사용이 상당히 제한되어 있다. 그러나 어떤 특정한 자료를 요약하는 데 대표치로서 다른 대표치보다 우수하고 대표치로서 오차를 피할 수 있게 해준다. 예를 들면 시간비율의 평균 또는 특정한 물가계산에 적합하다. 또 통계에 있어서 평균의 표준오차는 사례수 N에 역비례하므로 평균의 표준오차의 통합에도 사용된다. 일반적으로 조화평균은 산술평균이 갖는 편견성(偏見性)에 역(速)으로 관계되고 있다. 경우에 따라서 조화 평균이 정확한 평균치를 돌려준다. 예를 들어, 전체 거리의 절반을 40km/h의 속도로 달리고, 남은 절반을 60km/h로 달렸다면, 평균 속력은 40과 60의 조화 평균인 48km/h가 된다. 이동하는데 전체 거리를 48 km/h의 속력으로 달린 경우와 같은 시간이 걸렸기 때문이다. (만약 전체 "시간"의 절반씩을 달렸다면, 평균 속력은 산술 평균인 50km/h가 된다.)<ref>〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=512201&cid=42126&categoryId=42126 조화평균]〉, 《교육학용어사전》</ref><ref>〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94_%ED%8F%89%EA%B7%A0 조화 평균]〉, 《위키백과》</ref>

조화평균은 주어진 집단의 측정결과에 대한 대표치의 하나로서 개별점수의 역(速)의 산술평균의 역(速)을 말한다. 각 개인별 측정치를 X1, X2, ...Xn이 라고 하고 전체 사례수를 N, 그리고 조화평균을 H라고 하면 다음과 같이 계산된다. 조화평균은 특별한 유형의 대표치로서 그 사용이 상당히 제한되어 있다. 그러나 어떤 특정한 자료를 요약하는 데 대표치로서 다른 대표치보다 우수하고 대표치로서 오차를 피할 수 있게 해준다. 예를 들면 시간비율의 평균 또는 특정한 물가계산에 적합하다. 또 통계에 있어서 평균의 표준오차는 사례수 N에 역비례하므로 평균의 표준오차의 통합에도 사용된다. 일반적으로 조화평균은 산술평균이 갖는 편견성(偏見性)에 역(速)으로 관계되고 있다. 경우에 따라서 조화 평균이 정확한 평균치를 돌려준다. 예를 들어, 전체 거리의 절반을 40km/h의 속도로 달리고, 남은 절반을 60km/h로 달렸다면, 평균 속력은 40과 60의 조화 평균인 48km/h가 된다. 이동하는데 전체 거리를 48 km/h의 속력으로 달린 경우와 같은 시간이 걸렸기 때문이다. (만약 전체 "시간"의 절반씩을 달렸다면, 평균 속력은 산술 평균인 50km/h가 된다.)<ref>〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=512201&cid=42126&categoryId=42126 조화평균]〉, 《교육학용어사전》</ref><ref>〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94_%ED%8F%89%EA%B7%A0 조화 평균]〉, 《위키백과》</ref>

n개의 양수에 대하여 그 역수들을 산술평균한 것의 역수를 조화평균이라 한다. 예를 들어, 두 지점 A, B를 갈 때는 'a' km/h의 속도로, 올 때는 'b' km/h의 속도로 왕복했다면 이 사람의 평균속력은 a와 b의 조화평균에 해당된다. 또 100m를 3회 뛴 속력이 a,b,c일 때, 평균속력은 조화평균으로 구해진다. 이와 같이 일이나 능률의 예에서는 산술평균을 구하면 틀리게 된다.  

n개의 양수에 대하여 그 역수들을 산술평균한 것의 역수를 조화평균이라 한다. 예를 들어, 두 지점 A, B를 갈 때는 'a' km/h의 속도로, 올 때는 'b' km/h의 속도로 왕복했다면 이 사람의 평균속력은 a와 b의 조화평균에 해당된다. 또 100m를 3회 뛴 속력이 a,b,c일 때, 평균속력은 조화평균으로 구해진다. 이와 같이 일이나 능률의 예에서는 산술평균을 구하면 틀리게 된다.  

n개의 양수 a1, a2,…,an에 대하여 그 역수 1/a1, 1/a2, …, 1/an을 산술평균한 것의 역수. 즉, 조화평균을 H라 하면, 아래와 같은 공식이 된다.  

n개의 양수 a1, a2,…,an에 대하여 그 역수 1/a1, 1/a2, …, 1/an을 산술평균한 것의 역수. 즉, 조화평균을 H라 하면, 아래와 같은 공식이 된다.  

두 지점 A, B를 갈 때는 'a' km/h의 속도로, 올 때는 'b' km/h의 속도로 왕복했다면 이 사람의 평균속력은 a와 b의 조화평균에 해당된다. 또 100m를 3회 뛴 속력이 a,b,c일 때, 평균속력은 조화평균으로 구해진다. 이와 같이 일이나 능률의 예에서는 산술평균을 구하면 틀리게 된다. 산술평균 A, 기하평균 G, 조화평균 H 사이에는 H≤G≤A가 성립한다. 등호는 a1＝a2＝a3＝…＝an일 때이며, 또 그 때에 한하여 성립한다. 구간 a≤x≤b에서 적분가능인 함수 f(x)＞0의 조화평균을 아래와 같은 공식으로 구하는 경우도 있다.<ref>〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1142224&cid=40942&categoryId=32206 조화평균]〉, 《두산백과》</ref>

두 지점 A, B를 갈 때는 'a' km/h의 속도로, 올 때는 'b' km/h의 속도로 왕복했다면 이 사람의 평균속력은 a와 b의 조화평균에 해당된다. 또 100m를 3회 뛴 속력이 a,b,c일 때, 평균속력은 조화평균으로 구해진다. 이와 같이 일이나 능률의 예에서는 산술평균을 구하면 틀리게 된다. 산술평균 A, 기하평균 G, 조화평균 H 사이에는 H≤G≤A가 성립한다. 등호는 a1＝a2＝a3＝…＝an일 때이며, 또 그 때에 한하여 성립한다. 구간 a≤x≤b에서 적분가능인 함수 f(x)＞0의 조화평균을 아래와 같은 공식으로 구하는 경우도 있다.<ref>〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1142224&cid=40942&categoryId=32206 조화평균]〉, 《두산백과》</ref>

== 조화평균의 정의 ==

== 조화평균의 정의 ==

각자에게 주어진 같은 양의 식량을 갑은 일, 을은 일, 병은 일이면 모두 소비한다고 하자. 그러면 주어진 식량을 모두 모은 후 갑, 을, 병이 같이 소비한다면 식량이 모두 소비되기까지 걸릴 시간은 하루에 개인이 소비하는 식량의 양은 갑은 주어진 양의 1/20, 을은 1/25, 병은 1/40이다. 따라서 셋이서 하루에 소비하는 식량의 양은 개인에게 주어진 양의 1/20 + 1/25 + 1/40이다. 주어진 식량이 모두 소비되기까지 걸린 일수는 다음과 같이 20, 25, 40의 조화평균이다.<ref name="수학백과">〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405320&cid=47324&categoryId=47324 조화평균]〉, 《수학백과》</ref>

각자에게 주어진 같은 양의 식량을 갑은 일, 을은 일, 병은 일이면 모두 소비한다고 하자. 그러면 주어진 식량을 모두 모은 후 갑, 을, 병이 같이 소비한다면 식량이 모두 소비되기까지 걸릴 시간은 하루에 개인이 소비하는 식량의 양은 갑은 주어진 양의 1/20, 을은 1/25, 병은 1/40이다. 따라서 셋이서 하루에 소비하는 식량의 양은 개인에게 주어진 양의 1/20 + 1/25 + 1/40이다. 주어진 식량이 모두 소비되기까지 걸린 일수는 다음과 같이 20, 25, 40의 조화평균이다.<ref name="수학백과">〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405320&cid=47324&categoryId=47324 조화평균]〉, 《수학백과》</ref>

== 가중조화평균 ==

== 가중조화평균 ==

서울에서 부산까지 가는데 처음 50km 구간은 시속 40km로, 다음 250km 구간은 시속 100km로, 마지막 100km 구간은 시속 80km로 달렸다면 평균속력은 아래와 같다. 이때 각 구간의 거리 이 50, 250, 100가중조화평균의 가중치 역할을 한다.<ref name="수학백과"></ref>

서울에서 부산까지 가는데 처음 50km 구간은 시속 40km로, 다음 250km 구간은 시속 100km로, 마지막 100km 구간은 시속 80km로 달렸다면 평균속력은 아래와 같다. 이때 각 구간의 거리 이 50, 250, 100가중조화평균의 가중치 역할을 한다.<ref name="수학백과"></ref>

== 다른 평균과의 관계 ==

== 다른 평균과의 관계 ==

양의 실수 x1, x2, ..., xn에 대하여 산술평균, 조화평균, 기하평균을 각각 A(x1, x2, ..., xn), H(x1, x2, ..., xn), G(x1, x2, ..., xn)이라고 한다.

양의 실수 x1, x2, ..., xn에 대하여 산술평균, 조화평균, 기하평균을 각각 A(x1, x2, ..., xn), H(x1, x2, ..., xn), G(x1, x2, ..., xn)이라고 한다.

세 평균에 대하여 항상 다음 부등식이 성립한다.

세 평균에 대하여 항상 다음 부등식이 성립한다.

등식은 모든 xi들이 같을 때에만 성립한다.<ref name="수학백과"></ref>

등식은 모든 xi들이 같을 때에만 성립한다.<ref name="수학백과"></ref>

== 두 수의 조화평균 ==

== 두 수의 조화평균 ==

== '어울림' 만드는 조화평균 ==

== '어울림' 만드는 조화평균 ==