진자

진자(振子, Pendulum)

진자(振子, Pendulum)는 일정한 축을 중심으로 일정한 주기 운동을 하는 물체를 말한다. 이때, 진자에 작용하는 복원력이나 결합 방식에 따라 그 종류가 나뉘게 된다.

고전 물리학에서 진자의 운동은 기계식 시계의 구현뿐만아니라 표준 미터법 그리고 중력가속도(g) 및 중력상수(G)의 실측과 매우 밀접한 관련이 있는 핵심 원리이다.

개요

진자는 고정된 한 축이나 점의 주위를 일정한 주기로 진동하는 물체. 중력이나 탄성력 등의 힘에 의해 평형점을 중심으로 진동운동을 반복한다.

단진자(單振子)·복진자(複振子) 등과 같이 중력의 작용으로 진동하는 것, 용수철진자·비틀림진자 등과 같이 탄성력의 작용으로 진동하는 것이 있다.

단진자는 실의 맨 끝에 가볍고 작은 추를 달아서 연직면 내에서 진동하게 만든 것이다. 진폭이 작을 때, 단진자의 주기

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

으로 주어진다. 여기서 l은 그 진자의 길이이며, g는 중력가속도이다. 식에서 보듯이 단진자의 주기는 진자의 질량이나 진폭에 영향을 받지 않는다. 다만, 이는 진자의 진폭이 작을 때만 성립한다.

용수철진자는 용수철 끝에 추를 달아 왕복운동하게 만든 것이다. 용수철과 추가 가만히 있을 때를 기준으로, 그 평형점을 중심으로 진동운동을 한다. 용수철의 탄성계수를 k, 추의 질량을 m이라 할 때, 용수철진자의 주기 T는

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

으로 주어진다.

이처럼 이상적인 진자의 주기는 진자의 진폭에는 무관하며, 진자에 작용하는 복원력의 크기와 관계가 있다.

수학적 설명

이상적인 진자의 운동은 다음 미분방정식의 형태로 표현된다.

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$

이때 이상적인 진자란, 다음의 전제를 포함한다.

• 줄의 질량은 무시할 수 있을 정도로 작다.
• 추는 부피가 없는 하나의 질점으로 취급한다.
• 운동은 2차원에서만 일어난다.
• 저항이나 마찰력에 의해 에너지 손실이 없다.
• 균일한 중력장 속에서의 운동이다.
• 축은 움직이지 않는다.

방정식의 유도

진자에 작용하는 힘

오른쪽 그림과 같이 진자의 추에는 중력과 장력이 작용한다. 두 힘의 합력은 다음과 같이 나타난다.

$-mg\sin \theta$

한편, 미소 거리 $dx$는 미소 각 $d\theta$와 다음의 관계를 가진다.

$dx=ld\theta$

이때 $l$은 변하지 않기 때문에, 한 번 더 미분하면 다음 관계를 얻는다.

$d^{2}x=ld^{2}\theta$

따라서 뉴턴의 제 2법칙($F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$)에 의해,

$-mg\sin \theta =m{\frac {ld^{2}\theta }{dt^{2}}}$

정리하여 다음을 얻는다.

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$

진폭이 작은 진자의 운동

진자의 운동을 기술하는 식 ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$에서, 진폭, 즉 각이 작다면 $\sin \theta \approx \theta$로 어림이 가능하다. 따라서 다음 식을 얻게 된다.

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0$

위 식은 단순 조화 운동의 방정식이다. 이 방정식의 해는 다음 꼴로 나타난다. $\theta (t)=A\sin(\omega {}t-\phi )$

이때 각속도 $\omega ={\sqrt {g/l}}$ 이고, 진폭 $A$와 위상 $\phi$는 진자의 초기 위치와 속도에 의해 결정되는 값이다.

진동 주기

진폭이 작을 때, 진자의 진동 주기 $T$는 $2\pi /\omega$로 구해진다.

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

즉, 진자의 주기는 중력가속도 $g$와 줄의 길이 $l$에만 의존하고, 추의 무게와는 관련이 없다.

진폭이 클 때, 주기는 진폭에 따라 점차 증가한다. 실제 주기는 여러 형태로 표현될 수 있으며 아래는 한가지 예이다.

$T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)$

참고자료

• 〈진자〉, 《위키백과》
• 〈진자〉, 《두산백과》
• 〈진자〉, 《물리학백과》

같이 보기

• 진자운동
• 중력가속도

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